Đặc trưng Euler có thể được tính dễ dàng cho các bề mặt tổng quát bằng cách tìm một đa giác (polygonization) của bề mặt (nghĩa là, một mô tả như một CW-phức) và sử dụng các định nghĩa trên.

Bất kỳ không gian co (tức là, nó tương đương đồng luân với 1 điểm) có tương đồng tầm thường, nghĩa là số Betti thứ 0 là 1 và những số khác là 0. Tóm lại, Đặc trưng Euler của nó là 1. Trường hợp này bao gồm không gian Euclid R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} của bất kỳ chiều nào, cũng như quả cầu đơn vị đặc trong bất kì không gian Euclide — 1 chiều - khoảng, 2 chiều - đĩa, 3 chiều - quả cầu,...

Quả cầu n chiều có số Betti là một trong chiều 0 và n, và tất cả các số Betti khác là 0 Suy ra Đặc trưng Euler của nó là 1 + ( − 1 ) n {\displaystyle 1+(-1)^{n}} — tức là,hoặc 0 hoặc 2.

Không gian chiếu thực n chiều là thương của n quả cầu bởi ánh xạ ngược. Suy ra rằng đặc trưng Euler của nó chính xác một nửa đã tương ứng của các quả cầu - Hoặc là 0 hoặc 1.

Hình xuyến n chiều là tích 2 không gian của n vòng tròn. đặc trưng Euler của nó là 2 bởi tính chất tích

Ví dụ quả bóng

Có bao nhiêu ngũ giác và hình lục giác tạo nên một quả bóng đá?

Giả sử sử dụng hình lục giác H {\displaystyle H} và ngũ giác P {\displaystyle P} ; Suy ra ta có F = H + P {\displaystyle F=H+P} mặt. mỗi hình ngũ giác (hình lục giác) có 5 đỉnh (6 đỉnh), và mỗi đỉnh có 3 mặt chung, suy ra ta có V = ( 5 P + 6 H ) / 3 {\displaystyle V=(5P+6H)/3} đỉnh. Tương tự, mỗi ngũ giác (lục giác) có 5 cạnh (6 cạnh), và mỗi cạnh có 2 mặt chung, suy ra ta có E = ( 5 P + 6 H ) / 2 {\displaystyle E=(5P+6H)/2} cạnh. Vì thế Đặc trưng Euler là ( P + H ) − ( 5 2 P + 3 H ) + ( 5 3 P + 2 H ) = ( 1 − 5 2 + 5 3 ) P + ( 1 − 3 + 2 ) H = 1 6 P + 0 H {\displaystyle (P+H)-({\frac {5}{2}}P+3H)+({\frac {5}{3}}P+2H)=(1-{\frac {5}{2}}+{\frac {5}{3}})P+(1-3+2)H={\frac {1}{6}}P+0H} . Bởi vì quả cầu có đặc trưng Euler 2, nen ta có P = 12 {\displaystyle P=12} . Kết quả là luôn luôn cần 12 ngũ giác trên một quả bóng đá, số lượng hình lục giác về nguyên tắc không bị giới hạn (nhưng đối với một quả bóng đá thực sự rõ ràng là một lựa chọn một số để làm cho bóng càng tròn càng tốt). Kết quả này cũng được áp dụng cho fullerenes.